2. 考研
  3. (2016年)设函数f(x)连续，且满足∫0xf(x—t)dt=∫0x(x—t)f(t)dt+e-x一1，求f(x)。

(2016年)设函数f(x)连续，且满足∫0xf(x—t)dt=∫0x(x—t)f(t)dt+e-x一1，求f(x)。

admin2021-01-25  86
问题 (2016年)设函数f(x)连续，且满足∫0xf(x—t)dt=∫0x(x—t)f(t)dt+e-x一1，求f(x)。
选项
答案∫0xf(x—t)dt作变量替换u=x-t，则 ∫0xf(x—t)dt=∫x0f(u)(一du)=∫0xf(u)du，代入方程可得 ∫0xf(u)du=x∫0xf(t)dt一∫0xtf(t)dt+e-x一1。 两边同时求导数可得 f(x)=∫0xf(t)dt—e-x (1) 由于f(x)连续，可知∫0xf(t)dt可导，从而f(x)也可导，故对上式两边再求导可得 f’(x)=f(x)+e-x， 由(1)式两边令x=0可得f(0)=一1，解微分方程可得 [*]
解析
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考研数学三

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