2. 考研
  3. 设f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，且f”(x)＞0，f(0)=0，证明：φ(x)=f(x)/x在(-∞，0)和(0，+∞)都是单调增加的．

设f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，且f”(x)＞0，f(0)=0，证明：φ(x)=f(x)/x在(-∞，0)和(0，+∞)都是单调增加的．

admin2021-02-25  81
问题 设f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，且f”(x)＞0，f(0)=0，证明：φ(x)=f(x)/x在(-∞，0)和(0，+∞)都是单调增加的．
选项
答案[*]．令 g(x)=xf’(x)-f(x)，g(0)=-f(0)=0， g’(x)=f’(x)+xf”(x)-f’(x)=xf”(x)，g’(0)=0， 当x＜0时g’(x)＜0；当x＞0时g’(x)＞0．故g(0)=0是g(x)的最小值，所以当x≠0时，g(x)＞g(0)=0，从而φ’(x)＞0，即φ(x)在(-∞，0)和(0，+∞)都是单调增加的．
解析 本题考查函数单调性的判定方法，只需判断φ’(x)＞0即可．
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考研数学二

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