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  3. 已知矩阵A=相似． (Ⅰ)求x，y，z的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP=B．

已知矩阵A=相似． (Ⅰ)求x，y，z的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP=B．

admin2019-07-24  15
问题 已知矩阵A=相似．
(Ⅰ)求x，y，z的值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP=B．
选项
答案(Ⅰ)设λ是A的特征值，由于A2=A，所以λ2=λ，且A有两个不同的特征值，从而A的特征值为0和1． 又因为A2=A，即A(A-E)=O，故R(A)+R(A-E)=n.事实上，因为A(A-E)=O，所以 R(A)+R(A-E)≤n． 另一方面，由于E-A与A-E的秩相同，则有 n=R(E)=R[(E-A)+A]≤R(A)+R(E-A)=R(A)+R(A-E)， 从而 R(A)+R(A-E)=n． 当λ=1时，因为R(A-E)=n-R(A)=n-s，从而齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系含有s个解向量，因此，A属于特征值1有s个线性无关特征向量，记为η1，η2，…，ηs． 当λ=0时，因为R(A)=s，从而齐次线性方程组(0.E-A)x=0的基础解系含n-s个解向量．因此，A属于特征值0有行一s个线性无关的特征向量，记为ηs+1，ηs+2，…，ηn． 于是η1，η2，…，ηn是A的n个线性无关的特征向量，所以A可对角化，并且对角阵为 [*] (Ⅱ)令P=(η1，η2，η3，…，ηn)，则A=PAP-1，所以 ｜A-2E｜=｜PAP-1-2E｜=｜A-2E｜=[*]=｜-Es｜｜-2En-s｜ =(-1)s(-2)n-s=(-1)n2n-s．
解析 利用非齐次线性方程组解的结构求解．先求对应导出组的基础解系，再求一个特解．
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